题目

如图，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连AE交对角线BD于F，过F作FG⊥AE交BC于G．

（1）求证：AF=FC；
（2）求证：∠FAG=45°．

提问时间：2021-02-26

答案

证明：（1）∵正方形ABCD中，BD是对角线，
∴AD=DC，∠1=∠2，
在△ADF和△DFC中，

AD＝DC ∠1＝∠2 DF＝DF

，
∴△ADF≌△DFC（SAS），
∴AF=FC，
 
（2）∵FG⊥AE，
∴∠AFG=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠3+∠4=180，
∵∠4+∠5=180，
∴∠3=∠5，
∵△ADF≌△DFC，
∴∠6=∠7，
∵∠3+∠7=∠6+∠8=90°．
∴∠5=∠8，
∴FG=FC，
∵AF=FC，
∴AF=FG，
∵FG⊥AE，
∴∠FAG=45°．

（1）根据正方形的性质证明△ADF≌△DFC即可，
（2）因为FG⊥AE，若证明∠FAG=45°，则可证明AF=FG即可．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，综合题，但难度中等．