题目

若函数f（x）=log_a（x²-ax+3）在区间（-∞，

a

2

）上是减函数，则a的取值范围是（　　）
A. （0，1）
B. （1，+∞）
C. （1，2

3

]
D. （1，2

3

）

提问时间：2021-02-26

答案

由对数式的底数大于0且不等于1知，a＞0且a≠1．
令g（x）=x²-ax+3，函数的对称轴方程为x=

a

2

，
函数g（x）=x²-ax+3在（-∞，

a

2

）上为减函数，在（

a

2

，+∞）上为增函数，
要使复合函数f（x）=log_a（x²-ax+3）在区间（-∞，

a

2

）上是减函数，
则外层函数y=log_ag（x）为增函数，且同时满足内层函数g（x）=x²-ax+3在（-∞，

a

2

）上大于0恒成立，
即

a＞1 g( a 2 )＝( a 2 )2−a• a 2 +3≥0

，
解得：1＜a≤2

3

．
∴使函数f（x）=log_a（x²-ax+3）在区间（-∞，

a

2

）上是减函数的a的取值范围是（1，2

3

]．
故选：C．

内层函数g（x）=x²-ax+3在区间（-∞，

a

2

）上是减函数，由复合函数的单调性知，外层函数y=log_ag（x）为增函数，得到a的初步范围，再由g（x）=x²-ax+3在区间（-∞，

a

2

）上大于0恒成立求出a的范围，取交集后求得实数a的取值范围．

本题考点：复合函数的单调性．

考点点评：本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．