题目
已知函数f(x)=ax3-x,其中a≤
.
(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)在[-1,1]上的最大值.
1 |
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(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)在[-1,1]上的最大值.
提问时间:2021-02-25
答案
(Ⅰ)当a=1时,f(x)=x3-x,f(2)=6,f'(2)=11
所以,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-6=11(x-2),
即11x-y-16=0; (6分)
(Ⅱ)f'(x)=3ax2-1.
当a≤0时,f'(x)=3ax2-1<0,y=f(x)在[-1,1]单调递减,∴f(x)max=f(-1)=-a+1;
当0<a≤
时,令f'(x)=0,解得x1=−
,x2=
.
因为0<a≤
,所以x2=
>1且x1=−
<−1,
又当-1<x<1时,f'(x)<0,
故y=f(x)在[-1,1]单调递减,∴f(x)max=f(-1)=-a+1;
综上,函数f(x)在[-1,1]上的最大值为-a+1.(14分)
所以,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-6=11(x-2),
即11x-y-16=0; (6分)
(Ⅱ)f'(x)=3ax2-1.
当a≤0时,f'(x)=3ax2-1<0,y=f(x)在[-1,1]单调递减,∴f(x)max=f(-1)=-a+1;
当0<a≤
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因为0<a≤
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又当-1<x<1时,f'(x)<0,
故y=f(x)在[-1,1]单调递减,∴f(x)max=f(-1)=-a+1;
综上,函数f(x)在[-1,1]上的最大值为-a+1.(14分)
(Ⅰ)把a=1代入到f(x)中化简得到f(x)的解析式,求出f'(x),因为曲线的切点为(2,f(2)),所以把x=2代入到f'(x)中求出切线的斜率,把x=2代入到f(x)中求出f(2)的值得到切点坐标,根据切点和斜率写出切线方程即可;
(II)借助于导数,将三次函数“f(x)=ax3-x”的最值问题转化为二次函数进行研究.此题只须求出函数的导函数,利用导数求解.
(II)借助于导数,将三次函数“f(x)=ax3-x”的最值问题转化为二次函数进行研究.此题只须求出函数的导函数,利用导数求解.
利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.
考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的极值.灵活运用分类讨论的数学思想解决数学问题.本题考查利用导数研究函数的极值,导数的引入,为研究高次函数的极值与最值带来了方便.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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