题目
（2007•青岛）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．
提问时间：2021-02-25
答案
（1）根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=
BP，
即t=
（3-t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=
BQ，
3-t=
t，t=2（秒），
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
（2）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B=
，
∴PM=PB•sin∠B=
（3-t），
∴S△PBQ=
BQ•PM=
•t•
（3-t），
∴y=S△ABC-S△PBQ，
=
×3×（3×
）-
•t•
（3-t），
=
t2-
t+
，
∴y与t的关系式为y=
t2-
t+
，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的
，
则S四边形APQC=
S△ABC，
∴
t2-
t+
=
×
×32×
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=
| 1 |
| 2 |
即t=
| 1 |
| 2 |
当∠BPQ=90°时，BP=
| 1 |
| 2 |
3-t=
| 1 |
| 2 |
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．
（2）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B=
| PM |
| PB |
∴PM=PB•sin∠B=
| ||
| 2 |
∴S△PBQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴y=S△ABC-S△PBQ，
=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=
| ||
| 4 |
3
| ||
| 4 |
9
| ||
| 4 |
∴y与t的关系式为y=
| ||
| 4 |
3
| ||
| 4 |
9
| ||
| 4 |
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的
| 2 |
| 3 |
则S四边形APQC=
| 2 |
| 3 |
∴
| ||
| 4 |
3
| ||
| 4 |
9
| ||
| 4 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
|