题目

设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数f（x）满足f（1）=1,且当a,b∈[-1,1],当a+b≠0时,都有f(a)+f(b)/a+b＞0
⑴试问函数f(x)的图像上是否存在两个不同的点A,B,使直线AB恰好与Y轴垂直,若存在,求出A,B两点的坐标；若不存在,说明理由并加以证明.⑵若1/2f(x)≤m^2+2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求m的取值范围.

提问时间：2021-02-25

答案

不存在.证明,假设存在,那么YA=YB  
a=XA,-b=XB,因为是奇函数,所以f(b)=-f(-b)
f(a)+f(b)=f(a)-f(-b)=f(XA)-f(XB)=YA-YB    a+b=XA-XB
得(YA-YB)/(XA-XB)>0  这与YA=YB矛盾,所以假设不成立
由（1）的证明可看出f(x)是【-1,1】上的增函数,所以最大值为f(1)=2
m^2+2ma+1>1/2f(x)恒成立只需要左边大于右边的最大值即可,
得m^2+2ma+1>1在a属于【-1,1】上恒成立,
当m不等于0时,整理得-m/2>a,只需要-m/2>1,即m<-2就行,
当m=0时,不等式不成立.
综上所诉,m<-2