题目

x和a都是整数,则当x≥6或x≤-8时,(x+1)²>|6x+2|
a不可能为整数,因此,-7≤x≤5且x≠-1
若关于x的方程ax的平方+2乘（a-3)x+a-2=0至少有一个整数根,且a为整数,求a的值
当a=0时,原方程化为-6x-2=0,x=-1/3不是整数,所以a≠0
原方程有整数根,则至少其判别式应当为完全平方数
其判别式为：4(a-3)^2-4a(a-2)=36-16a=4×(9-4a)
所以,a=2,此时,原方程化为2x^2-2x=0,x=0或x=1是整数
因此,a=2
当a为正整数时,可用上面的解法,但如果a是整数,则可用另一种解法.
ax²+2(a-3)x+a-2=0
ax²+2ax-6x+a-2=0
a(x²+2x+1)=6x+2
a=(6x+2)/(x+1)²
x和a都是整数,则当x≥6或x≤-8时,(x+1)²>|6x+2|
a不可能为整数,因此,-7≤x≤5且x≠-1
当x=-7,x=-6,x=-5,x=-4,x=2,x=3,x=4,x=5时,a都不是整数
因此,
当x=-3时,a=-4
当x=-2时,a=-10
当x=0时,a=2
当x=1时,a=2
综上,a=2,或a=-4,或a=-10

提问时间：2021-02-24

答案

∵a是整数
∴(x+1)²≤|6x+2| ---即分子的绝对值必比分母大,才可能与分母约去剩整数,要么正要么负
∵求(x+1)²≤|6x+2| 即求(x+1)²>|6x+2| 的反面
∴(x+1)²>6x+2,且(x+1)²>-(6x+2)
∴x²-4x-1>0且x²+8x+3>0
∴x>2+√5 或x-4+√13 或x2+√5,-4+√13