题目

已知，如图，BD是正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，求证：

（1）△BCE≌△DCF；
（2）DG²=GE•GB；
（3）若CF=2

2

-2，求正方形ABCD的面积．

提问时间：2021-03-21

答案

证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∠BCD=90°，在△BCE和△DCF中BC＝DC∠BCE＝∠DCFCE＝CF，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF，∵BE平分∠DBC，∴∠CBE=∠DBE，∴∠DDG=∠GBD，...

（1）根据正方形的性质得正方形，CB=CD，∠BCD=90°，利用“SAS”可判断△BCE≌△DCF；
（2）由△BCE≌△DCF得∠CBE=∠CDF，再根据角平分线的定义得到∠CBE=∠DBE，则∠DDG=∠GBD，而∠DGE=∠BGD，根据三角形相似的判定得到△GDE∽△GBD，利用相似比即可得到DG²=GE•GB；
（3）先利用等角的余角相等得∠DGE=∠BCE=90°，即BG⊥DF，而BG平分∠DBF，根据等腰三角形的判定方法得到△BGF为等腰三角形，则BD=BF=BC+CF，由于BD=

2

BC，CF=2

2

-2，所以

2

BC=BC+2

2

-2，可计算出BC=2，然后计算正方形ABCD的面积．

本题考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

考点点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质．