题目

平面向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=2,|a-b|=2,则a·b的最小值为____

提问时间：2021-02-23

答案

坐标运算
建立适当平面直角坐标系,使得e=(1,0)
设a=(x,y),b=(m,n)
则ae=x,得x=1,be=m,得m=2
于是a=(1,y),b=(2,n)
a-b=(-1,y-n),ab=2+yn
于是1+(y-n)²=4
得(y-n)²=3
于是问题转化为(y-n)²=3,求2+yn最小值
……………………………………
高三求法：不等式法
(y-n)²=y²+n²-2yn
≥2|yn|-2yn,
于是3≥2|yn|-2yn
当yn＞0时显然成立
当yn＜0时,3≥-4yn,得yn≥-3/4,于是2+yn≥5/4,最小值为5/4
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高一求法,y-n=±√3,即y=n±√3
2+yn=2+n²±√3n
二次函数顶点坐标公式得最小值为5/4