题目
如图,在△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,DE⊥AB于E,∠ADC=45°,若DE:AE=1:5,BE=3,求△ABD的面积.
提问时间:2021-02-23
答案
在△AED中,∵DE⊥AB于E,
又∵DE:AE=1;5,
∴设DE=x,则AE=5x,
由勾股定理,AD2=AE2+ED2=(5x)2+x2=26x2,
∴AD=
x.
在△ADC中,∵∠C=90°,∠ADC=45°,
∴∠DAC=45°.
由勾股定理,AC2+DC2=AD2=26x2,
∴AC=DC=
x.
在Rt△BED中,∵ED=x,BE=3,
由勾股定BD2=ED2+BE2=x2+32=x2+9,
∴BD=
.
在Rt△BED和Rt△BCA中,
∵∠B是公共角,
∠BED=∠BCA=90°,
∴△BED∽△BCA,而AB=3+5x.
∴
=
.
即
=
.
解关于x的方程3+5x=
•
,
两边平方得:(3+5x)2=13•(x2+9),
化简得:2x2+5x-18=0,
即(x-1)(2x+9)=0,
∴x1=2 x2=-
.
∵x=ED>0,
∴x=ED=2,AE=5x=10.
∴AB=AE+BE=10+3=13.
∴S△ABD=
ED•AB=
×2×13=13.
又∵DE:AE=1;5,
∴设DE=x,则AE=5x,
由勾股定理,AD2=AE2+ED2=(5x)2+x2=26x2,
∴AD=
26 |
在△ADC中,∵∠C=90°,∠ADC=45°,
∴∠DAC=45°.
由勾股定理,AC2+DC2=AD2=26x2,
∴AC=DC=
13 |
在Rt△BED中,∵ED=x,BE=3,
由勾股定BD2=ED2+BE2=x2+32=x2+9,
∴BD=
x2+9 |
在Rt△BED和Rt△BCA中,
∵∠B是公共角,
∠BED=∠BCA=90°,
∴△BED∽△BCA,而AB=3+5x.
∴
ED |
AC |
BD |
BA |
即
x | ||
|
| ||
3+5x |
解关于x的方程3+5x=
13 |
x2+9 |
两边平方得:(3+5x)2=13•(x2+9),
化简得:2x2+5x-18=0,
即(x-1)(2x+9)=0,
∴x1=2 x2=-
9 |
2 |
∵x=ED>0,
∴x=ED=2,AE=5x=10.
∴AB=AE+BE=10+3=13.
∴S△ABD=
1 |
2 |
1 |
2 |
由已知条件可以证明△BED∽△BCA,然后根据其对应边成比例可将DE的长求出来,进而可求出AB的长,根据三角形的面积公式可求出结果.
解直角三角形.
此题考查解直角三角形、直角三角形性质等知识,也考查逻辑推理能力和运算能力.此题比较难,综合性比较强.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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