题目
两道数学证明题(有关数学归纳法)
1.证明 n(n+1)(2n+1)能被6整除.
2.数列{an}满足Sn=2n-an(n属于正整数),先计算前四项后再猜想an,并证明之.
1.证明 n(n+1)(2n+1)能被6整除.
2.数列{an}满足Sn=2n-an(n属于正整数),先计算前四项后再猜想an,并证明之.
提问时间:2021-02-23
答案
1.当n=1时,n(n+1)(2n+1)=1*2*3=6能被6整除;
假设当n=k时,n(n+1)(2n+1)=k(k+1)(2k+1)能被6整除,那么当n=k+1时,n(n+1)(2n+1)=(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)=(k+1)(k+2)(2k+3)=k(k+2)(2k+3)+(k+2)(2k+3)=k(k+1)(2k+3)+k(2k+3)+(2k^2+7k+6)=k(k+1)(2k+1)+2k(k+1)+(4k^2+10k+6)=k(k+1)(2k+1)+(6k^2+12k+6)=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2,由于k(k+1)(2k+1)与6(k+1)^2都能被6整除,所以当n=k+1时,n(n+1)(2n+1)也能被6整除,综合以上结论可知,n(n+1)(2n+1)能被6整除.
2.S1=a1=2-a1,a1=1=2-1;
S2=a1+a2=1+a2=4-a2,a2=3/2=2-1/2;
S3=a1+a2+a3=1+3/2+a3=6-a3,a3=7/4=2-1/4;
S4=a1+a2+a3+a4=1+3/2+7/4+a4=8-a4,a4=15/8=2-1/8.
推测an=2-(1/2)^(n-1)
由上面可知,当n=1、2、3、4时,Sn=2n-an成立.
假设当n=k时,Sn=2n-an即Sk=2k-ak成立,
那么当n=k+1时,左边=S(k+1)=Sk+a(k+1)=2k-ak+a(k+1)=2k-[2-(1/2)^(k-1)]+[2-(1/2)^k]=2k+(1/2)^(k-1)-(1/2)^k=2k+(1/2)^k;右边=2(k+1)-a(k+1)=2k+2-[2-(1/2)^k]=2k+(1/2)^k.左边=右边,即当n=k+1时,Sn=2n-an也成立.
综合上面结论可知,使数列{an}满足Sn=2n-an的通项公式为an=2-(1/2)^(n-1).满足Sn=2n-an
假设当n=k时,n(n+1)(2n+1)=k(k+1)(2k+1)能被6整除,那么当n=k+1时,n(n+1)(2n+1)=(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)=(k+1)(k+2)(2k+3)=k(k+2)(2k+3)+(k+2)(2k+3)=k(k+1)(2k+3)+k(2k+3)+(2k^2+7k+6)=k(k+1)(2k+1)+2k(k+1)+(4k^2+10k+6)=k(k+1)(2k+1)+(6k^2+12k+6)=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2,由于k(k+1)(2k+1)与6(k+1)^2都能被6整除,所以当n=k+1时,n(n+1)(2n+1)也能被6整除,综合以上结论可知,n(n+1)(2n+1)能被6整除.
2.S1=a1=2-a1,a1=1=2-1;
S2=a1+a2=1+a2=4-a2,a2=3/2=2-1/2;
S3=a1+a2+a3=1+3/2+a3=6-a3,a3=7/4=2-1/4;
S4=a1+a2+a3+a4=1+3/2+7/4+a4=8-a4,a4=15/8=2-1/8.
推测an=2-(1/2)^(n-1)
由上面可知,当n=1、2、3、4时,Sn=2n-an成立.
假设当n=k时,Sn=2n-an即Sk=2k-ak成立,
那么当n=k+1时,左边=S(k+1)=Sk+a(k+1)=2k-ak+a(k+1)=2k-[2-(1/2)^(k-1)]+[2-(1/2)^k]=2k+(1/2)^(k-1)-(1/2)^k=2k+(1/2)^k;右边=2(k+1)-a(k+1)=2k+2-[2-(1/2)^k]=2k+(1/2)^k.左边=右边,即当n=k+1时,Sn=2n-an也成立.
综合上面结论可知,使数列{an}满足Sn=2n-an的通项公式为an=2-(1/2)^(n-1).满足Sn=2n-an
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1当意思是“关于”的时候,“about”与“on”有什么区别?
- 2人用嘴吹气球,则气球里的气体是二氧化碳,比空气的密度大,那么吹出来的气球就不能自己上升了吗?
- 316x-x^3/x^2-8x+16怎么约分?麻烦给个具体过程这个是分式的.
- 4金属晶界是否会影响晶体的导电性
- 59065000平方千米是什么概念
- 6德语基础的问题,求教几个单词的复数,der Mantel,Das Buch的复数是什么?
- 7设x,y满足约束条件3x−y−6≤0x−y+2≥0x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为12,则2a+3b的最小值为( ) A.256 B.83 C.113 D.4
- 81v等于多少kV
- 92.8÷2+2×0.4 简便计算
- 10酶卡门氏单位与U/L的换算?
热门考点
- 1填成语:态度好——对人( ) 文章好——文笔( )
- 2在△ABC中,设BC=a,AB=c,CA=b,若(b+a)/a=sinB/(sinB-sinA),cos2C+cosC=1-cos(A-B).试判断△ABC形状.
- 3there is( )food in the shop A:lot of B:many C;a lot D:a lot of(单项选空)
- 4文言文帝!整理归纳《黔之驴》中的知识点.
- 5一桶油,第一次取出40%,第二次取出比第一次多5千克,桶里还有15千克.这桶油有多少千克?
- 6现在看到的某些太空景象为什么是若干年前的
- 7煅烧含杂质10%石灰石100kg,能制得石灰石多少kg?
- 8给你大花园、蝴蝶、蜻蜓、蜜蜂、黄莺编一个童话故事.(不要流水账,400字左右)
- 9将半径为12cm的铁球融化,重新铸造8个半径相同的小铁球,如不计损耗,求小铁球的半径(球的体积公式是V=3分之4派R的3次方)
- 10简单的填词