题目

已知A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)是单位圆上两点,|AB|=2√5/5.（1）求cos（α-β）的值
（2）.设α∈（0,π/2）,β∈（-π/2,0）,且sinβ=-5/13,求sinα的值

提问时间：2021-02-22

答案

(1)
∵A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),
根据两点间距离公式
∴|AB|=√[(cosα-cosβ)²+(sinα-sinβ)²]
=√[cos²α+sin²α+cos²β+sin²β-2(cosαcosβ+sinαsinβ)]
=√[1+1-2cos(α-β)]
=√[2-2cos(α-β)]
∵|AB|=2√5/5
∴√[2-2cos(α-β)]=2√5/5
∴2-2cos(α-β)]=4/5
∴cos(α-β)=3/5
(2)
∵α∈（0,π/2）,β∈（-π/2,0）
∴α-β∈(0,π)
∵cos(α-β)=3/5∴sin(α-β)=4/5
∵sinβ=-5/13,β∈（-π/2,0）
∴cosβ=√(1-sin²β)=12/13
∴sinα=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ
=4/5*12/13+3/5*(-5/13)
=33/65