题目

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+ln（1+

1

n

提问时间：2021-02-22

答案

a₁=2+ln1，
a₂=2+ln2，
a3=2+ln2+ln

3

2

=2+ln3，
a4=2+ln3+ln

4

3

=2+ln4，
由此猜想a_n=2+lnn．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=2+ln1，成立．
②假设当n=k时等式成立，即a_k=2+lnk，
则当n=k+1时，ak+1=ak+ln(1+

1

k

)=2+lnk+ln

k+1

k

=2+ln（k+1）．成立．
由①②知，a_n=2+lnn．
故答案为：2+lnn．