题目

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内任取一点，则点P到点A的距离小于等于a的概率为（　　）
A.

2

2

B.

2

2

π
C.

1

6

π
D.

1

6

提问时间：2021-02-21

答案

本题是几何概型问题，
与点A距离等于a的点的轨迹是一个八分之一个球面，
其体积为：V₁=，

1

8

×

4π

3

×a3＝

π

6

a3，
“点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为：

1

8

×

4π

3

×a3＝

π

6

a3，
则点P到点A的距离小于等于a的概率为：

π 6 a3

a3

=

1

6

π．
故选C．

本题是几何概型问题，欲求点P到点A的距离小于等于a的概率，先由与点A距离等于a的点的轨迹是一个八分之一个球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法求解即可．

本题考点：几何概型．

考点点评：本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．