题目

一道证明函数不等式恒成立题目
已知函数f(x)=ax+b/x+c(a>0)的图像在点（1,f(1))的切线方程为y=x-1
(1)用a表示出b,c
(2)若f(x)>=lnx在[1,正无穷)上恒成立,求a的取值范围
已经做到构造函数h(x)=ax2-(a-1)-x了,能不能二次求导,1/2a怎么讨论a

提问时间：2021-02-21

答案

(1)f'(1)=a-b
切线y-(a+b+c)=(a-b)(x-1)
已知切线y=x-1
x=1时y=0=f(1)
所以a+b+c=0
a-b=1
b=a-1,c=-(a+b)=-(2a-1)
(2)f(x)=ax+(a-1)/x+1-2a
令F(x)=f(x)-lnx=ax+(a-1)/x+1-2a-lnx
F(1)=0
要使F(x)>=0,在[1,正无穷)上恒成立
需要
F'(x)>=0在[1,正无穷)上恒成立
a-(a-1)/x^2-1/x>=0在(1,正无穷)上恒成立
ax^2-x-(a-1)>=0在(1,正无穷)上恒成立需要开口向上即a>0
由于判别式1+4a(a-1)=（2a-1)^2>=0
当a>0时根x_2=[1+(2a-1)]/2a=1
因此只需要a>0
如果
a为0
则要-x+1>=0
需要x0