题目

已知函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x),若a,b∈(-1,1),求证f(a)+f(b)=f[(a+b）/（1+ab）]

提问时间：2021-02-20

答案

证明,因为f(x)=lg(1-x)-lg(1+x),
=lg[(1-x)/(1+x)]
所以,当a,b∈(-1,1)时,即1-a>0,1-b>0时.
f(a)+f(b)=[lg(1-a)-lg(1+a)]+[lg(1-b)-lg(1+b)]
=lg[(1-a)/(1+a)]+lg[(1-b)/(1+b)]
=lg[(1-a)/(1+a)]*[(1-b)/(1+b)]
=lg[(1-a)*(1-b)/(1+a)*(1+b)]
=lg(1-a-b+ab)/(1+a+b+ab)
f[(a+b)/(1+ab)]=lg[1-(a+b)/(1+ab)]-lg[1+(a+b)/(1+ab)]
=lg[(1-a-b+ab)/(1+ab)]-lg[(1+a+b+ab)/(1+ab)]
=lg(1-a-b+ab)/(1+a+b+ab)
所以f(a)+f(b)=f[(a+b）/（1+ab）]