题目
a+b+c=1,求证9abc小于或等于ab+bc+ac
提问时间:2021-02-20
答案
由a²+b²≥2ab
可得(a²+b²)c≥2abc
同理可得(a²+c²)b≥2abc
(b²+c²)a≥2abc
三式左右相加,得:
(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a≥6abc
上式两端同时加上3abc,得
(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a+3abc≥9abc
重新排一下顺序,再把3abc拆成三个abc,得
(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a+3abc
=(abc+a²c+a²b)+(b²c+abc+b²a)+(c²b+c²a+abc)
=(bc+ac+ab)a+(bc+ac+ab)b+(bc+ac+ab)c
=(bc+ac+ab)(a+b+c)
所以:
(bc+ac+ab)(a+b+c)≥9abc
又a+b+c=1,则(bc+ac+ab)≥9abc
你可以参考一下这个网址的回复,两个问题实质是一样的.
可得(a²+b²)c≥2abc
同理可得(a²+c²)b≥2abc
(b²+c²)a≥2abc
三式左右相加,得:
(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a≥6abc
上式两端同时加上3abc,得
(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a+3abc≥9abc
重新排一下顺序,再把3abc拆成三个abc,得
(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a+3abc
=(abc+a²c+a²b)+(b²c+abc+b²a)+(c²b+c²a+abc)
=(bc+ac+ab)a+(bc+ac+ab)b+(bc+ac+ab)c
=(bc+ac+ab)(a+b+c)
所以:
(bc+ac+ab)(a+b+c)≥9abc
又a+b+c=1,则(bc+ac+ab)≥9abc
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举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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