题目

设a1,a2,a3,a4,a5为自然数,A={a1,a2,a3,a4,a5},B={a1^2,a2^2,a3^2,a4^2,a5^2},且a1小于a2小于a3小于a4小于a5,并满足A与B的交集={a1,a4},a1+a4=10,A与B的并集中各元素之和为256,求集合A

提问时间：2021-02-20

答案

（1）
因为A与B的交集={a1,a4},所以B中含有a1和a4,a1与a4都是平方数
而a1+a4=10,故只能取 a1 = 1 ,a4 = 9
所以A = { 1,3,x,9,a5 } …………（注：可能是a2=3,也可能是a3=3）
B = { 1,9,x^2,81,a5^2 }
（2）
A与B的并集 = { 1,3,x,9,a5,x^2,81,a5^2 }
他们的和为256,故：
x + x^2 + a5 + a5^2 = 256 - (1+3+9+81) = 162
（3）
我们先从a5入手,a5>9,但 ( a5 + a5^2 ) 应小于162,所以a5只能取10、11、12
若a5 = 10,则 ( x + x^2 ) = 162 - 110 = 52,x无整数解；
若a5 = 11,则 ( x + x^2 ) = 162 - 132 = 30,可求得 x = 5；
若a5 = 12,则 ( x + x^2 ) = 162 - 156 = 6,可求得 x = 2.
综上所述,总共有2个答案：
① A = { 1,3,5,9,11 },B = { 1,9,25,81,121 }
② A = { 1,2,3,9,12 },B = { 1,4,9,81,144 }