题目

向量

m

＝(a+1，sinx)，

n

＝(1，4cos(x+

π

6

))，设函数g（x）=

m

•

n

（a∈R，且a为常数）．
（1）若x为任意实数，求g（x）的最小正周期；
（2）若g（x）在[0，

π

3

)上的最大值与最小值之和为7，求a的值．

提问时间：2021-02-20

答案

∵g(x)＝

m

•

n

=a+1+4sinxcos(x+

π

6

)（2分）
=

3

sin2x−2sin2x+a+1
=

3

sin2x+cos2x+a=2sin(2x+

π

6

)+a（6分）
（1）由周期公式可得，T=

2π

2

=π（8分）
（2）∵0≤x<

π

3

，
∴

π

6

≤2x+

π

6

<

5π

6

当2x+

π

6

＝

π

2

，即x=

π

6

时，y_max=2+a（10分）
当2x+

π

6

＝

π

6

，即x=0时，y_min=1+a
∴a+1+2+a=7，即a=2．（12分）

先根据向量的数量积的坐标表示及辅助角公式，二倍角公式求出函数g（x）=2sin（2x+

π

6

）+a
（1）根据周期公式T=

2π

ω

可求周期
（2）由x得范围可求2x+

π

6

的范围，结合正弦函数的性质可分别求解函数的最大值与最小值，可求

本题考点：平面向量的综合题；三角函数的最值．

考点点评：本题主要考查了向量数量积的坐标表示的基本运算，三角公式的二倍角公式、辅助角公式在化解中的应用及正弦函数性质的应用．