题目

如图3,梯形ABCD中,AD‖EF‖BC,且S梯形AEFD=S梯形EBCF,试说明AD的平方+BC的平方=2（EF的平方）

提问时间：2021-02-20

答案

延长BA、CD交于点O
由于AD‖BC,所以△OAD∽△OBC,那么有OA/AD=OB/BC=(OB-OA)/(BC-AD)=AB/(BC-AD)
同样由于AD‖EF,△OAD∽△OEF,那么有OA/AD=OE/EF=(OE-OA)/(EF-AD)=AE/(EF-AD)
即AB/(BC-AD)=AE/(EF-AD),AE/AB=(EF-AD)/(BC-AD)
过点A作AM⊥BC于M,交EF于N,可轻易得到△AEN∽△ABM,那么AN/AM=AE/AB=(EF-AD)/(BC-AD)
S梯形AEFD=S梯形EBCF=S梯形ABCD/2,即(AD+EF)*AN/2=(AD+BC)*AM/2/2化简整理得到
AE/AB=(AD+BC)/2(AD+EF)
从而得到(AD+BC)/2(AD+EF)=(EF-AD)/(BC-AD)
BC^2-AD^2=2(EF^2-AD^2)
AD^2+BC^2=2EF^2得证