题目

求函数f(x)=x^3+3x^2的一个对称中心
RT

提问时间：2021-02-19

答案

f(x)上任意一点可用(x,x^3+3x^2)表示.
设点A(x0,y0)（0是下标）是f(x)的对称中心,
那么(x,x^3+3x^2)关于点A的对称点
也就是(2 x0 - x,2 y0 - (x^3+3x^2) )也在函数图像上,
即此点满足函数表达式,所以
2 y0 - (x^3+3x^2) = (2 x0 - x)^3 + 3 (2 x0 - x)^2对任意x恒成立.
化简,得
6 (x0 + 1) x^2 - 12 x0 (x0 + 1) x + (8 x0 ^3 + 12 x0 ^2 - 2 y0) = 0
对任意x恒成立.
这就要求x^2、x的系数和常数项都是0,即
6 (x0 + 1) = 0
- 12 x0 (x0 + 1) = 0
8 x0 ^3 + 12 x0 ^2 - 2 y0 =0
解得 x0 = -1 , y0 = 2
对称中心是(-1,2)