当前位置: > 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1,则该椭圆的离心率的取值范围为(  ) A....
题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使
a
sin∠PF1F2
=
c
sin∠PF2F1
,则该椭圆的离心率的取值范围为(  )
A. (0,
2
-1

B. (
2
2
,1

C. (0,
2
2

D. (
2
-1
,1)

提问时间:2021-02-19

答案
在△PF1F2中,由正弦定理得:
PF2
sin∠PF1F2
=
PF1
sin∠PF2F1

则由已知得:
a
PF2
=
c
PF1

即:aPF1=cPF2
设点P(x0,y0)由焦点半径公式,
得:PF1=a+ex0,PF2=a-ex0
则a(a+ex0)=c(a-ex0
解得:x0=
a(c-a)
e(c+a)
=
a(e-1)
e(e+1)

由椭圆的几何性质知:x0>-a则
a(e-1)
e(e+1)
>-a,
整理得e2+2e-1>0,解得:e<-
2
-1或e>
2
-1,又e∈(0,1),
故椭圆的离心率:e∈(
2
-1,1),
故选D.
由“
a
sin∠PF1F2
c
sin∠PF1F2
”的结构特征,联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得:
PF2
sin∠PF1F2
PF1
sin∠PF2F1
两者结合起来,可得到
a
PF2
c
PF1
,再由焦点半径公式,代入可得到:a(a+ex0)=c(a-ex0)解出x0,由椭圆的范围,建立关于离心率的不等式求解.要注意椭圆离心率的范围.

正弦定理;椭圆的简单性质.

本题主要考查椭圆的定义,性质及焦点三角形的应用,特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点,多数是用a,b,c转化,用椭圆的范围来求解离心率的范围.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.