题目
若函数y=f(x)(x属于R)的图像关于直线x=a及点(b,c)(b不等于a)对称,试证:f(x)是周期函数
最好把怎么会想到代换的思路讲一下
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提问时间:2021-02-18
答案
∵关于x=a对称
∴f(x)=f(2a-x)
又∵关于(b,c)对称
∴f(x)+f(2b-x)=c=f(b)
∴f(2a-x)+f(2b-x)=f(b)
令x=b
f(2a-b)+f(b)=f(b)∴f(2a-b)=0由于对称,故f(b)=0
∴f(2a-x)+f(2b-x)=0
令x=-x
∴f(2a+x)=-f(2b+x)
∴f(x)=-f(x+2b-2a)=-(-f(x+4b-4a))=f(x+4b-4a)
∵a≠b∴4b-4a≠0
所以f(x)是周期函数.
∴f(x)=f(2a-x)
又∵关于(b,c)对称
∴f(x)+f(2b-x)=c=f(b)
∴f(2a-x)+f(2b-x)=f(b)
令x=b
f(2a-b)+f(b)=f(b)∴f(2a-b)=0由于对称,故f(b)=0
∴f(2a-x)+f(2b-x)=0
令x=-x
∴f(2a+x)=-f(2b+x)
∴f(x)=-f(x+2b-2a)=-(-f(x+4b-4a))=f(x+4b-4a)
∵a≠b∴4b-4a≠0
所以f(x)是周期函数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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英语翻译
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