题目
已知圆x2+y2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b对称,
(1)求k、b的值;
(2)若这时两圆的交点为A、B,求∠AOB的度数.
(1)求k、b的值;
(2)若这时两圆的交点为A、B,求∠AOB的度数.
提问时间:2021-02-18
答案
(1)圆x2+y2+8x-4y=0即 (x+4)2+(y-2)2=20,表示以M(-4,2)为圆心,半径等于2
的圆.
由于另一个圆的圆心是原点O,OM的中点为N(-2,1),OM的斜率K=
=-
.
再由2个圆的圆心关于直线y=kx+b对称,可得
,解得
.
(2)由上可知,直线y=kx+b即y=2x+5,即2x-y+5=0,且此直线是公共弦所在的直线.
弦心距为d=
=
,故cos
=
=
,
∴
=60°
故∠AOB=120°.
5 |
由于另一个圆的圆心是原点O,OM的中点为N(-2,1),OM的斜率K=
2 |
-4 |
1 |
2 |
再由2个圆的圆心关于直线y=kx+b对称,可得
|
|
(2)由上可知,直线y=kx+b即y=2x+5,即2x-y+5=0,且此直线是公共弦所在的直线.
弦心距为d=
|0-0+5| | ||
|
5 |
∠AOB |
2 |
d |
r |
1 |
2 |
∴
∠AOB |
2 |
故∠AOB=120°.
(1)由题意可得,2个圆的圆心关于直线y=kx+b对称,利用垂直以及线段的中点在轴上,解方程组求得k、b的值.
(2)公共弦所在的直线2x-y+5=0,利用点到直线的距离公式求出弦心距d,由cos
=
求得
的值,
即可得到∠AOB的度数.
(2)公共弦所在的直线2x-y+5=0,利用点到直线的距离公式求出弦心距d,由cos
∠AOB |
2 |
d |
r |
∠AOB |
2 |
即可得到∠AOB的度数.
关于点、直线对称的圆的方程;圆与圆的位置关系及其判定.
本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,两点关于某直线对称的性质,属于中档题.
举一反三
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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