题目

已知正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的正整数n满足2

Sn

＝an+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝

1

an•an+1

，求数列{b_n}的前n项和B_n．

提问时间：2021-02-18

答案

（Ⅰ）由2

Sn

＝an+1，n=1代入得a₁=1，
两边平方得4S_n=（a_n+1）²（1），
（1）式中n用n-1代入得4Sn−1＝(an−1+1)2

&(n≥2)

（2），
（1）-（2），得4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，0=（a_n-1）²-（a_n-1+1）²，（3分）
[（a_n-1）+（a_n-1+1）]•[（a_n-1）-（a_n-1+1）]=0，
由正数数列{a_n}，得a_n-a_n-1=2，
所以数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，有a_n=2n-1．（7分）
（Ⅱ）bn＝

1

an•an+1

＝

1

(2n−1)(2n+1)

＝

1

2

(

1

2n−1

−

1

2n+1

)，
裂项相消得Bn＝

n

2n+1

．（14分）

（I）仿写一个等式，两式相减，得到数列的项的递推关系，据此递推关系，判断出数列是等差数列，利用等差数列的通项公式求出通项．
（II）将数列的通项裂成两项的差，通过和众的项相互抵消，求出数列的前n项和．

本题考点：数列的求和；等差数列的通项公式．

考点点评：若知数列的和与项的递推关系求通项，常采用仿写的方法；求数列的前n项和，一般先判断通项的特点，然后采用合适的求和方法．