题目

设命题P：函数f（x）=x²-2ax在（1，+∞）上递增；命题Q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．若P或Q为真，P且Q为假，求a的取值范围．

提问时间：2021-02-17

答案

函数f（x）=x²-2ax的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=a，
要使函数f（x）=x²-2ax在（1，+∞）上递增，只需a≤1；
函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R，即对任意x都有ax²-x+a＞0恒成立，
故可得

a＞0 △＝1−4a2＜0

，解得a＞

1

2

．
当P或Q为真，P且Q为假时，可得P，Q一真一假，
∴若P真，Q假，由

a≤1 a≤ 1 2

可得a≤

1

2

，
若Q真，P假，则由

a＞1 a＞ 1 2

可得a＞1，
故a的取值范围为：a≤

1

2

，或a＞1

可得P真需a≤1；Q真需a＞

1

2

，由复合命题的真假可知Q一真一假，分P真，Q假，和Q真，P假两类，由集合的运算可得a的范围．

本题考点：复合命题的真假．

考点点评：本题考查复合命题的真假，涉及二次函数的应用，属基础题．