题目

已知数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项和S_n满足S

提问时间：2021-02-16

答案

（1）∵对任意n∈N*，有Sn＝

1

6

(an+1)(an+2)①当n≥2时，
有Sn−1＝

1

6

(an−1+1)(an−1+2)②
当①-②并整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
而{a_n}的各项均为正数，所以a_n-a_n-1=3．
∴当n=1时，有S1＝a1＝

1

6

(a1+1)(a1+2)，解得a₁=1或2，
当a₁=1时，a_n=1+3（n-1）=3n-2，此时a₄²=a₂a₉成立；
当a₁=2时，a_n=2+3（n-1）=3n-1，此时a₄²=a₂a₉不成立；舍去．
所以a_n=3n-2，n∈N*，
（2）T_2n=b₁+b₂+…+b_2n
=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-6a₂-6a₄-…-6a_2n=-6（a₂+a₄+…+a_2n）
=−6×

n(4+6n−2)

2

＝−18n2−6n．