题目

数列{an}中,sn表示前n项和.若a1=1,sn+1=4an+2

提问时间：2021-02-16

答案

S(n+1)=4an+2 Sn=4a(n-1)+2 S2=a1+a2=4a1+2=6 a2=5
a(n+1)=S(n+1)-Sn=4an-4a(n-1)
a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)]
(1) 所以bn=a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)]=2b(n-1)
即{bn}是公比为2的等比数列
(2) 由(1) b1=a2-2a1=5-2*1=3
所以bn=a(n+1)-2an=3*2^(n-1)
即an-2a(n-1)=3*2^(n-2)
则an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=3/4
所以cn-c(n-1)=3/4
故{cn}是公差为3/4的等差数列
(3) 由(2) c1=a1/2=1/2
则cn=1/2+(n-1)*3/4=(3/4)n-1/4
即an/2^n=(3n-1)/4
所以通项公式an=(3n-1)*2^(n-2),
a(n-1)=(3n-4)* 2^(n-3),
由已知：Sn=4a(n-1)+2
所以Sn=4*(3n-4)* 2^(n-3) +2=(3n-4)* 2^(n-1)+2