题目

已知点A(-1.1),B(1,1),点P是直线L:y=x-2上的一动点,当∠APB最大时,则过A,B,P的圆的方程是?
答题要点：①过程较清晰,
②讲述思想
③最好,讲一下用到的知识（这是一道高二解析几何题）谢谢,..

提问时间：2021-02-15

答案

作圆ABP,及其圆心O,可知∠APB=1/2*∠AOB,若要使∠APB最大,则∠AOB最大,圆心要尽量向上,而又必须与y=x-2有交点,必为圆与直线相切.又因为O在AB垂直平分线上,可见O坐标为(0,c),由OA^2等于O到直线y=x-2距离平方（相切的条件）列出方程：
1^2+(c-1)^2=(0-c-2)^2/(1^2+1^2)整理得c^2=8c,c=0或c=8,有图像可见c=8符合相切但不符合最大,即圆心在(0,0)上,又半径为OA=√(2),所以方程为x^2+y^2=2.
注：用到点到直线距离公式,(x0,y0)到直线ax+by+c=0距离为(ax0+by0+c)/sqrt(a^2+b^2).