题目

设点P（x0,y0）为直线x+3y-6=0上的点,若在圆O：x^2+y^2=3上存在点Q,使角OPQ=60度（O为坐标原点）
则x0的取值范围是?
为什么要求OP〈=2,才存在角OPQ=60度?

提问时间：2021-02-15

答案

分析：圆O外有一点P,圆上有一动点Q,∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长,那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．因为sin∠OPQ= ,QO为定值,即半径,PO变大,则sin∠OPQ变小,由于∠OPQ∈（0,）,所以∠OPQ也随之变小．可以得知,当∠OPQ=60,且PQ与圆相切时,PO=2,而当PO＞2时,Q在圆上任意移动,∠OPQ＜60恒成立．因此,P的取值范围就是PO≤2,即满足PO≤2,就能保证一定存在点Q,使得∠OPQ=60°,否则,这样的点Q是不存在的．
由分析可得：PO2=x02+y02
又因为P在直线L上,所以x0=-（3y0-6）
故10y02-36y0+3≤4
解得即x0的取值范围是 ,
故答案为 [0,6/5]