题目

一个初中爆难几何题,强人进
一个等腰三角形ABC顶角A为20度,在AB上做一点D,连接DC使DCB=60度；在AC上做一点E,连接EB使EBC=50度.求EDC的角度.
第一中方法最后的
∴ FE =FC =FD,
点F为△ECD的外心,
故∠EDC =1/2∠BFD =1/2*60°=30°

提问时间：2021-02-14

答案

方法1：
在BD上取一点F,使∠BCF =20°,连接EF.
△ABC 为等腰△,∠ABC =∠ACB =80°,
又∠DCB=60°,∠ACD=80°-60°=20°=∠A,
∴ △ADC 为等腰△,AD =DC
在△CBF中,∠CBF =80°,∠FCB =20°
∴ ∠CFB =180°-80°-20°=80°=∠CBF
∴ △CBF 为等腰△,CB =CF
在△BCE中,∠CBE =50°,∠ECB =80°
∴ ∠BEC =180°-50°-80°=50°=∠CBE
∴ △CBE 为等腰△,CB =CE
在△CEF中,CE =CF
∠ECF =80°-20°=60°
∴ △CEF是正三角形,CE =CF =EF
∠DCF =∠ACB -∠ACD -∠BCF =80°-20°-20°=40°
在△ADC中
∠CDF =∠A+∠ACD =20°+20°=40°=∠DCF
∴ △FCD是等腰三角形.FC =FD
∴ FE =FC =FD,
点F为△ECD的外心,
故∠EDC =1/2∠BFD =1/2*60°=30°
方法2:用解析几何
△ABC 为等腰△,∠ABC =∠ACB =80°,
又∠DCB=60°,∠ACD=80°-60°=20°=∠A,
∴ △ADC 为等腰△,AD =DC
在△BCD中,
DC/sin80° = DB/sin60°...(余弦定理)
∴ DB =sin60°*DC/sin80°=sin60°*AD/sin80°
AB =AD +DB =AD(1+sin60°/sin80°)...(1)
∴ DC/AB =AD/AB...(将（1）式代入)
=1/(1+sin60°/sin80°)
=sin80°/(sin80°+sin60°)
=cos10°/(2sin70°*cos10°)
=1/(2*cos20°)...(2)
在△ABE中,AE/sin30°=BE/sin20°,
AE=sin30°*BE/sin20° （3）
在△BCE中,CE/sin50°=BE/sin80°,
CE=sin50°*BE/sin80° （4）
(4)/(3)
∴ CE/AE
=sin50°*sin20°/（sin30°*sin80°）
=sin50°*sin20°/（1/2*2*sin40°*cos40°）
=sin50°*sin20°/(sin40°*cos40°)
=sin20°/sin40°
=sin20°/(2*sin20°*cos20°)
=1/(2*cos20°)...(5)
比较(2)、(5)两式
∴ DC/AB =CE/AE ,
∵∠A=∠DCE,
∴△ABE∽△CDE,
∴∠EDC =∠ABE =30°