题目

请教诸位数学高手们两道微分方程
1. x+yy' = x(x^2+y^2)
2. xy'+y = y(Inx+Iny)
谢谢

提问时间：2021-02-14

答案

第一题
先换元
令t=y^2,则 yy'=t'/2 原方程可化为：
t'-2xt=2x^3-2x
在用一阶非齐次方程的通解
y=e^(-∫P(x)dx)[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]
在这里P(x)= -2x Q(x)= 2x^3-2x
化简得t= -x^2+Ce^(x^2)
所以y^2= -x^2+Ce^(x^2) C为常数
第二题
先换元
令t=lny 则t‘ = y’/y 原方程可化为：
t'-t/x=(lnx-1)/x
在用一阶非齐次方程的通解
y=e^(-∫P(x)dx)[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]
在这里P(x)= -1/x Q(x)= (lnx-1)/x
化简得t= -lnx+Cx
所以lny= -lnx+Cx