题目

已知数列an的通项公式为an=n/(n+a)(a,n∈N*）
1.是否存在a,k（k≥3且k∈N*）使得a1,a2,ak成等差数列?若存在,求出常数a的值；若不存在,说明理由.
2.求证：数列中的任意一项an总可以表示成数列中其他两项之积.

提问时间：2021-02-14

答案

（1）
a1=1/(a+1)
a2=2/(a+2)
ak=k/(a+k)
若a1,a2,ak成等差数列,则
4/(a+2)=1/(a+1)+k/(a+k)
去分母
4(a+1)(a+k)=(a+2)(a+k)+k(a+1)(a+2)
整理,得
ka^2+3a^2+2a=0
a(ka+3a+2)=0
a=0或k=-(3a+2)/a
a=0时,an=1,k可以为任意不小于3的自然数.
a不等于0时,k=-(3a+2)/a=-3+2/a,要k为整数,
a可以取2,1,-1,-2,相应的k为-2,-1,-5,-4,均不满足k为不小于3的自然数的条件.
因此,只有a=0,k取任意不小于3的自然数.
（2）
a=0,an=1,an总可以表示成数列中其他两项之积.