题目

已知函数f（x）=-x²+2ex+m,g(x)=x+e²/x(x>0)
确定m的范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
e是自然常数

提问时间：2021-02-14

答案

令T(x)=f(x)-g(x)=-x²+(2e-1)x+m-e²/x,
令F(x)=-x²+(2e-1)x+m
G(x)=e²/x
转化为F(x)与G(x)的交点问题,画出图形,可以得知,只要m足够大,二者必有两个不同的交点,极端情况是二者相切,即m取得极小值.
此时F'(x)=G'(x)
得到-2x+(2e-1)+e^2/x^2=0
这是一个三次方程,但观察出它有一个根x=e
于是可做分解(x-e)(2x^2+x+e)=0,后面的判别式小于0,与x轴无交点,所以得到x=e
于是F(e)=G(e)
所以m=2e-e^2
从而m的取值范围是(2e-e^2,正无穷)
希望能够对你有些许帮助