题目

已知1≤x≤10,且xy²＝100,求（lgx）²+（lgy）²的最大值和最小值,并求其取最大和最小值时相应的x和y的值 请写下具体步骤

提问时间：2021-02-13

答案

因为：
xy^2=100
两边取对数得到：
lg(xy^2)=lg100=2
lgx+2lgy=2
所以：
lgy=1-(1/2)lgx.
f(x)=(lgx)^2+(lgy)^2
=(lgx)^2+[1-(1/2)lgx]^2
=(5/4)(lgx)^2-lgx+1
设lgx=t,则有0<=t<=1,
f(x)=(5/4)t^2-t+1
对称轴t=2/5,在区间[0,1]范围内,所以：
f(x)在t=2/5处取得最小值,此时x=10^(2/5),y=10^(4/5);
f(x)在t=1处取得最大值,此时x=10,y=10^(1/2).