题目
如图,正三棱柱ABC—A1B1C1,AA1=AB,E是侧棱AA1的中点,(1)求证BC1垂直EC,(2)求二面角A-B-C的大小
能不能用文科的方法,不用直角坐标系啊?
能不能用文科的方法,不用直角坐标系啊?
提问时间:2021-02-13
答案
第一个问题:
令BC1∩B1C=O.
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱,AA1=AB,∴AA1B1B、AA1C1C、BB1C1C是全等的正方形.
∴BO=C1O=B1O=CO,且BC1⊥B1C.······①
∵E是AA1的中点,
∴由勾股定理,容易算出:BE=C1E,结合证得的BO=C1O,得:BC1⊥EO.······②
由①、②及BC1∩EO=O,得:BC1⊥平面EB1C,∴BC1⊥EC.
第二个问题:你忙中大意了,是不是求二面角A-BE-C的大小? 若是这样,则方法如下.
令AB的中点为D,过D作DF⊥BE交BE于F,连结CF.
∵AA1B1B、AA1C1C、BB1C1C是全等的正方形,∴AB=BC=AC,又D为AB的中点,
∴CD⊥AB.
显然有平面ABC⊥平面ABB1A1,又平面ABC∩平面ABB1A1=AB,结合证得的CD⊥AB,得:
CD⊥平面ABB1A1,∴DF是CF在平面ABB1A1上的射影,
∴由三垂线定理,有:CF⊥BE.
由DF⊥BE、CF⊥BE,得:∠CFD为二面角A-BE-C的平面角.
∵Rt△ABE与Rt△FBD有一个公共锐角,即∠ABE,∴Rt△ABE∽Rt△FBD,
∴DF/AE=BD/BE,∴DF=BD×AE/BE.
∴tan∠CFD=CD/DF=CD×BE/(BD×AE)
=(√3/2)AB√(AB^2+AE^2)/[(1/2)AB×(1/2)AA1]
=2√3×√[AB^2+(AA1/2)^2]/AB
=2√3×√[AB^2+(AB/2)^2]/AB
=2√3×√(1+1/4)
=√15.
∴∠CFD=arctan√15. 即二面角A-BE-C的大小为 arctan√15.
注:第二个问题若不是我所猜测的那样,则请你补充说明.
令BC1∩B1C=O.
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱,AA1=AB,∴AA1B1B、AA1C1C、BB1C1C是全等的正方形.
∴BO=C1O=B1O=CO,且BC1⊥B1C.······①
∵E是AA1的中点,
∴由勾股定理,容易算出:BE=C1E,结合证得的BO=C1O,得:BC1⊥EO.······②
由①、②及BC1∩EO=O,得:BC1⊥平面EB1C,∴BC1⊥EC.
第二个问题:你忙中大意了,是不是求二面角A-BE-C的大小? 若是这样,则方法如下.
令AB的中点为D,过D作DF⊥BE交BE于F,连结CF.
∵AA1B1B、AA1C1C、BB1C1C是全等的正方形,∴AB=BC=AC,又D为AB的中点,
∴CD⊥AB.
显然有平面ABC⊥平面ABB1A1,又平面ABC∩平面ABB1A1=AB,结合证得的CD⊥AB,得:
CD⊥平面ABB1A1,∴DF是CF在平面ABB1A1上的射影,
∴由三垂线定理,有:CF⊥BE.
由DF⊥BE、CF⊥BE,得:∠CFD为二面角A-BE-C的平面角.
∵Rt△ABE与Rt△FBD有一个公共锐角,即∠ABE,∴Rt△ABE∽Rt△FBD,
∴DF/AE=BD/BE,∴DF=BD×AE/BE.
∴tan∠CFD=CD/DF=CD×BE/(BD×AE)
=(√3/2)AB√(AB^2+AE^2)/[(1/2)AB×(1/2)AA1]
=2√3×√[AB^2+(AA1/2)^2]/AB
=2√3×√[AB^2+(AB/2)^2]/AB
=2√3×√(1+1/4)
=√15.
∴∠CFD=arctan√15. 即二面角A-BE-C的大小为 arctan√15.
注:第二个问题若不是我所猜测的那样,则请你补充说明.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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