题目

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，连接它的四个顶点得到的四边形的面积是4

2

，分别连接椭圆上一点（顶点除外）和椭圆的四个顶点，连得线段所在四条直线的斜率的乘积为

1

4

，求这个椭圆的标准方程．

提问时间：2021-02-12

答案

设所求的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），椭圆上一点为P（x₀，y₀），
则椭圆的四个顶点分别为（a，0），（-a，0），（0，b），（0，-b），
由已知四直线的斜率乘积为

1

4

，得

y02

x02-a2

•

y02-b2

x02

=

1

4

，
∵b²x₀²+a²y₀²=a²b²，∴y₀²=

b2(a2-x02)

a2

，x₀²=

a2(b2-y02)

b2

，
代入得

b4

a4

=

1

4

，又由已知2ab=4

2

，及a＞0，b＞0，得a=2，b=

2

，
∴椭圆方程是

x2

4

+

y2

2

=1．

设所求的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），椭圆上一点为P（x₀，y₀），由已知四直线的斜率乘积为

1

4

，得

y02

x02-a2

•

y02-b2

x02

=

1

4

，即可得出结论．

本题考点：椭圆的标准方程．

考点点评：本题考查椭C的方程，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．