题目
设函数f(x)=sinx+cosx和g(x)=2sinxcosx试求F(x)=f(x)+ag(x)在[0,0.5π]上的最小值h(a)若
设函数f(x)=sinx+cosx和g(x)=2sinxcosx(1)试求F(x)=f(x)+ag(x)在[0,0.5π]上的最小值h(a)
(2)若存在x0∈[0,π/2],使|af(x)-g(x)-3|≥1/2成立,求实数a的取值范围.
设函数f(x)=sinx+cosx和g(x)=2sinxcosx(1)试求F(x)=f(x)+ag(x)在[0,0.5π]上的最小值h(a)
(2)若存在x0∈[0,π/2],使|af(x)-g(x)-3|≥1/2成立,求实数a的取值范围.
提问时间:2021-02-12
答案
令sinx+cosx=2sin(x+π/4)=t
∵0≤x≤π/2,π/4≤x+π/4≤3π/4,
∴-√2/2≤sin(x+π/4)≤1
即-√2≤t≤2
(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=t^2
2sinxcosx=t^2-1
F(x)=t+a(t^2-1)=at^2+t-a,-√2≤t≤2
讨论a取最值
当0<a<√2/2时-√2<-1/a<0,最小值h(a)=-a
当√2/2≤a<2时-√2≤-1/a<-1/2,最小值h(a)=a-√2
当a≥2时,-1/2≤-1/a<0,最小值为h(a)=3a+2
∵0≤x≤π/2,π/4≤x+π/4≤3π/4,
∴-√2/2≤sin(x+π/4)≤1
即-√2≤t≤2
(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=t^2
2sinxcosx=t^2-1
F(x)=t+a(t^2-1)=at^2+t-a,-√2≤t≤2
讨论a取最值
当0<a<√2/2时-√2<-1/a<0,最小值h(a)=-a
当√2/2≤a<2时-√2≤-1/a<-1/2,最小值h(a)=a-√2
当a≥2时,-1/2≤-1/a<0,最小值为h(a)=3a+2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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