题目

已知椭圆：x^2/2+y^2=1的俩焦点F1和F2,点P(x0,y0）满足0

提问时间：2021-02-11

答案

2<=PF1+PF2<2√2.

因为0<x0^2+y0^2<1这个圆整个地包含在椭圆内（与椭圆短轴有交界）,因此PF1+PF2<2a=2√2,当P逼近(0,1)或(0,-1)的时候取最大值.

另一个方面,由于三角形三边关系,PF1+PF2>=|F1F2|=2.此时P在线段F1F2上,比如P取(0,0).

看下面这个图就很明白了,蓝色的圆是x^2+y^2<1的边界.红色的椭圆是x^2/2+y^2=1,绿色的是(-1,0)到(1,0)的线段.

绿线->黑色虚线->红线,实际上相当于一组以(-1,0)和(1,0)为焦点（即c=1为定值）但是长轴逐渐增大的椭圆族.

每个椭圆代表着PF1+PF2为定值的点集（那些黑色虚线）,从里向外膨胀,随着膨胀,长轴增加,因此PF1+PF2越来越大.

最小的椭圆是b=0,即为线段F1F2（退化的椭圆）,就是绿线,是为PF1+PF2的最小值.

最大的椭圆是b=1,即为椭圆x^2/2+y^2=1,就是红线,红色已与蓝圆边界相切,所以是PF1+PF2的最大值咯.