题目
已知向量
=(x+z,3),
=(2,y-z),且
⊥
,若x,y满足不等式|x|+|y|≤1,则z的取值范围为( )
A. [-2,2]
B. [-2,3]
C. [-3,2]
D. [-3,3]
a |
b |
a |
b |
A. [-2,2]
B. [-2,3]
C. [-3,2]
D. [-3,3]
提问时间:2021-02-11
答案
∵
=(x+z,3),
=(2,y-z),
又∵
⊥
∴(x+z)×2+3×(y-z)=2x+3y-z=0,
即z=2x+3y
∵满足不等式|x|+|y|≤1的平面区域如下图所示:
由图可知当x=0,y=1时,z取最大值3,
当x=0,y=-1时,z取最小值-3,
故z的取值范围为[-3,3]
故选D
a |
b |
又∵
a |
b |
∴(x+z)×2+3×(y-z)=2x+3y-z=0,
即z=2x+3y
∵满足不等式|x|+|y|≤1的平面区域如下图所示:
由图可知当x=0,y=1时,z取最大值3,
当x=0,y=-1时,z取最小值-3,
故z的取值范围为[-3,3]
故选D
根据平面向量的垂直的坐标运算法则,我们易根据已知中的
=(x+z,3),
=(2,y-z),
⊥
,构造出一个关于x,y,z的方程,即关于Z的目标函数,画了约束条件|x|+|y|≤1对应的平面区域,并求出各个角点的坐标,代入即可求出目标函数的最值,进而给出z的取值范围.
a |
b |
a |
b |
数量积判断两个平面向量的垂直关系;简单线性规划的应用.
本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系,简单线性规划的应用,其中利用平面向量的垂直的坐标运算法则,求出目标函数的解析式是解答本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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