题目

平面的截距式方程例题
原题：设一平面既不通过原点,也不平行于任何坐标轴,则该平面必与各坐标轴相交,设其交点分别为A(a 0 0),B(0 b 0),C(0 0 c),（其中abc≠0,a b c分别称为平面在x轴y轴z轴上的截距）,求此平面的方程.
设所求平面为 Ax+By+Cz+D=0 （1）
由于点A B C在此平面上,必满足方程,代入得
Aa+D=0,Bb+D=0,Cc+D=0
解得A=-D/a,B=-D/b,C=-D/c,代入方程（1）得
-D/A x-D/b y-D/c z+D=0
整理得 x/a+y/b+z/c=1
上式称为平面的截距式方程,根据方程,容易画出平面图形.
请问：1、方程 Ax+By+Cz+D=0 中的A B C不应该表示平面法向量的坐标吗?还是表示三个交点?三个交点与xyx相乘是什么意思?
2、例题说“由于点A B C在此平面上,必满足方程,代入得Aa+D=0,Bb+D=0,Cc+D=0”是依据什么得来的?

提问时间：2021-02-10

答案

方程 Ax+By+Cz+D=0 中的A B C就是法向量坐标的意义,但那3个交点都在此平面上,所以那3个点的坐标(x y z值)都符合这个方程,每个点的坐标代入这个方程(是取代x,y,z,而不是取代A B C)一次,就可以得到3个方程了,你将A(a 0 0),B(0 b 0),C(0 0 c),都代一次试试,不就是Aa+D=0,Bb+D=0,Cc+D=0这3个了.三个交点A B C与一般方程 Ax+By+Cz+D=0 中的A B C不是同一个东西,三个交点的A B C每一个都代表一组坐标值,表示点,而方程中的A B C是单个坐标值,就是法向量的x y z.要是三个交点叫D E F就不会混淆了.哈哈~