题目

从双曲线x²-y²=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为______．

提问时间：2021-02-10

答案

设P（x，y），Q（x₁，y₁），则N（2x-x₁，2y-y₁），
∵N在直线x+y=2上，
∴2x-x₁+2y-y₁=2①
又∵PQ垂直于直线x+y=2，∴

y−y1

x−x1

=1，
即x-y+y₁-x₁=0．②
由①②得

x1＝ 3 2 x+ 1 2 y−1 y1＝ 1 2 x+ 3 2 y−1

，
又∵Q在双曲线x²-y²=1上，
∴x₁²-y₁²=1．
∴（

3

2

x+

1

2

y-1）²-（

1

2

x+

3

2

y-1）²=1．
整理，得2x²-2y²-2x+2y-1=0即为中点P的轨迹方程．
故答案为：2x²-2y²-2x+2y-1=0．

设P（x，y），欲求其轨迹方程，即寻找其坐标间的关系，根据垂线的关系及点Q在双曲线上，代入其方程即可得到．

本题考点：圆锥曲线的轨迹问题．

考点点评：本题主要考查了轨迹方程的问题．求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x’，y’）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’，y’表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．