题目

1.3.8 设(X,ρ)是度量空间,M是X中的列紧集,映射f :X → M满足 ρ ( f (x1),f (x2)) < ρ ( x1,x2 ) (∀x1,x2∈M,x1 ≠ x2)． 求证：f在X中存在唯一的不动点

提问时间：2021-02-09

答案

证明：(1) 首先证明cl(M)是紧集．为此只要证明cl(M)列紧即可． 设{ xn }是cl(M)中的点列,则存在M中的点列{ yn }使得ρ ( xn,yn ) < 1/n． 因M列紧,故{ yn }有收敛子列{ yn(k)},设yn(k) → u ∈cl(M)． 显然{ xn(k)}也是收敛的,并且也收敛于u ∈cl(M)． 所以cl(M)是自列紧的,因而是紧集． (2) 令g(x) = ρ ( x,f (x)),则g是X上的连续函数． 事实上,由ρ ( f (x1),f (x2)) < ρ ( x1,x2 )可知f :X → M是连续的,因而g也连续． 由习题1.3.2知存在x0∈cl(M),使得g(x0) = inf {ρ ( x,f (x)) | x ∈cl(M) }． (3) 若g(x0) > 0,则ρ ( x0,f (x0)) > 0,即x0 ≠ f (x0)． 故ρ ( x0,f (x0)) = g(x0) ≤ g( f (x0)) = ρ ( f (x0),f ( f (x0))) < ρ ( x0,f (x0) ),矛盾． 所以,必有g(x0) = 0,即ρ ( x0,f (x0)) = 0,因此x0就是f的不动点．