题目
过抛物线y2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则|AB|的最小值为多少
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提问时间：2021-02-07
答案
焦点F坐标(0.5p,0),设直线L过F,则直线L方程为y=k(x-0.5p)
联立y²=2px得k²x²-(pk²+2p)x+p²k²/4=0
由韦达定理得x1+x2=p+2p/k²
AB=x1+0.5p+x2+0.5p=x1+x2+p=2p+2p/k²=2p(1+1/k²)
因为k=tana,所以1+1/k²=1+1/tan²a
=(sin²a/sin²a)+(cos²a/sin²a)
=(sin²a+cos²a)/sin²a
=1/sin²a
所以|AB|=2p/sin²a
当a=90°时,即AB垂直于X轴时,AB取得最小值,最小值是|AB|=2p
联立y²=2px得k²x²-(pk²+2p)x+p²k²/4=0
由韦达定理得x1+x2=p+2p/k²
AB=x1+0.5p+x2+0.5p=x1+x2+p=2p+2p/k²=2p(1+1/k²)
因为k=tana,所以1+1/k²=1+1/tan²a
=(sin²a/sin²a)+(cos²a/sin²a)
=(sin²a+cos²a)/sin²a
=1/sin²a
所以|AB|=2p/sin²a
当a=90°时,即AB垂直于X轴时,AB取得最小值,最小值是|AB|=2p
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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