题目
若点A,B是抛物线x*2=2y上不同的两点,抛物线过点A,B的切线的交点P在直线x--y--1=0上.问AB是否过定点?
提问时间：2020-11-06
答案
由题意可得 AB直线斜率存在 设 y=kx+b
A（x1,y1） B（x2,y2）
y=x²/2
所以 y'=x
所以 过A的切线方程为 y=x1（x-x1）+y1=x1*x-x1²+y1
过 B的切线方程为 y=x2（x-x2）+y2=x2*x-x2²+y2
因为 A,B在抛物线上 所以 x1²=2y1 x2²=2y2
所以 y=x1*x-y1 y=x2*x-y2
所以P 点坐标为 【（y1-y2）/（x1-x2）,（x1+x2）k/2-y1/2-y2/2】
（y1-y2）/（x1-x2）=k
k-（x1+x2）k/2+y1/2+y2/2=1
所以 （2-x1-x2)k=2-y1-y2
所以 y1+y2-kx1-kx2=2-2k
y1=kx1+b
y2=kx2+b
所以 2b=y1+y2-kx1-kx2
所以 b=1-k
所以 y=kx-k+1=k（x-1）+1
经过定点 （1,1）
A（x1,y1） B（x2,y2）
y=x²/2
所以 y'=x
所以 过A的切线方程为 y=x1（x-x1）+y1=x1*x-x1²+y1
过 B的切线方程为 y=x2（x-x2）+y2=x2*x-x2²+y2
因为 A,B在抛物线上 所以 x1²=2y1 x2²=2y2
所以 y=x1*x-y1 y=x2*x-y2
所以P 点坐标为 【（y1-y2）/（x1-x2）,（x1+x2）k/2-y1/2-y2/2】
（y1-y2）/（x1-x2）=k
k-（x1+x2）k/2+y1/2+y2/2=1
所以 （2-x1-x2)k=2-y1-y2
所以 y1+y2-kx1-kx2=2-2k
y1=kx1+b
y2=kx2+b
所以 2b=y1+y2-kx1-kx2
所以 b=1-k
所以 y=kx-k+1=k（x-1）+1
经过定点 （1,1）
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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