题目

已知y=sin^3θ+cos^3θ,x=sinθ+cosθ把y表示为x的函数y=f(x),并写出定义域,2)求y＝f（x）的最值

提问时间：2021-02-06

答案

因为,x=sinθ+cosθ=根号2sin（θ+π/4）属于[-根号2,根号2],（这里用的是辅助角公式,合一变形,也是三角换元里面经常用到的公式）,
所以x^2=1+2sinθcosθ,即 sinθcosθ=(x^2-1)/2
因此y=sin^3θ+cos^3θ=(sinθ+cosθ)(sin^2θ-sinθcosθ+cos^2θ)
=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)
=x[1-(x^2-1)/2]
=(3/2)x-(1/2)x^3,X 属于[-根号2,根号2].
(2)y'=-3/2x^2+3/2=-3/2(x+1)(x-1),
所以函数f(x)在（-根号2,-1）,（1,根号2）上递减,在（-1,1）上递增,(这里要注意函数的定义域,很容易写成（-无穷,-1）,（1,无穷）上 递减的,要求在做题的时候时刻把握已知条件),
所以f(x)在x=-1处取得极小值,在x=1处取得极大值,所以f(-根号2)=-根号2/2;
f(-1)=-1;
f(1)=1;
f（根号2）=根号2/2;
所以f(x)min=-1,f(x)max=1