题目

x大于0,证明ln>[1/(e^x)-2/ex)]
lnx>[1/(e^x)-(2/ex)]

提问时间：2021-02-06

答案

ln[x]>[1/(e^x)-(2/ex)]
记f(x)=ln[x]-e^(-x)+(2/ex),等价证明：当x>0时,f(x)>0.
由一阶导数f’(x)=1/x+1/e^x-2/ex^2=0
得：1/x+1/e^x＝2/ex^2
因为x>0,左右边都是单调函数,所以方程只有一个根,设为x=t.
且由2/et^2>1/t得：te>1]
所以f(x)只有一个极值点,且为极小值点,所以当x>0,f(x)≥f(t)
1/x+1/e^x-2/ex^2=0
用二分法求得近似0.550
所以f(x) =ln[x]-e^(-x)+(2/ex)≥f(t)>0
即ln[x]>[1/(e^x)-(2/ex)]
故得证.