题目

abc为三个质数且abc乘积为abc和的5倍求a^2+b^2+c^2的和是多少
abc=5(a+b+c)
因为a,b,c均为质数,故a,b,c中 一个是5,又因带求式为轮换对称式,因此a,b,c任意改变顺序不影响结果
不妨设a=5
化为5bc=25+5b+5c
两边同除以5
bc=5+b+c
bc-b-c+1=6
(b-1)(c-1)=6=1*6=2*3
若分解为2*3则b,c一个为3,一个为4(不符题意)
故(b-1)(c-1)=1*6
不妨设b-1=1 c-1=6
那么b=2 c=7
a^2+b^2+c^2=5^2+2^2+7^2=78
为什么abc其中有一个数为5.

提问时间：2021-02-05

答案

abc=5(a+b+c)
因为5是质因数,也就是不能再分解（如果把5换成合数,例如6=2*3那么2可以包括在a中,3可以包含在b 中,整个6也可以在abc单独的一个数中.可是5只能单独属于一个数的因子,你分不开）
这说明abc当中必有一个数是5的倍数,即可表示成5k（k正整数） 必然k=1 k如果不等于1的话5k就是合数至少除了1和5还有个因子,这和abc是质数矛盾