题目

如图，已知AD为∠BAC的平分线，点O在AD上，OE⊥BD于E，OF⊥CD于F，且OE=OF，请你猜想AB与AC有什么样的数量关系？并证明．

提问时间：2021-02-05

答案

AB=AC，理由如下：
∵OE⊥BD，OF⊥CD，且OE=OF，
∴DA为∠BDC的平分线，
∴∠ADB=∠ADC，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，

∠BAD=∠CAD AD=AD ∠ADB=∠ADC

，
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB=AC．

AB=AC，理由为：由OE⊥BD，OF⊥CD，且OE=OF，利用在角内部，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上，得到DA为角平分线，得到一对角相等，再由AD为角平分线得到一对角相等，再由AD为公共边，利用ASA可得出三角形ABD与三角形ACD全等，由全等三角形的对应边相等可得出AB=AC，得证．

本题考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

考点点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定义，全等三角形的判定方法有：SSS；SAS；ASA；AAS，以及HL（直角三角形判定全等的方法）．