题目

烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．（比例系数为k）．若C是AB连线上的点，设AC=x km，C点的烟尘浓度记为y．

（Ⅰ）写出y关于x的函数表达式；
（Ⅱ）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由．

提问时间：2021-02-04

答案

（Ⅰ）不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，由AC=x，（0＜x＜20），可得BC=20-x；…（3分）
依题意，点C处的烟尘浓度y的函数表达式为：y＝

k

x2

+

k•8

(20−x)2

，（0＜x＜20）…（6分）
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的函数表达式求导得y′＝−

2k

x3

+

16k

(20−x)3

＝

2k(9x3−60x2+1200x−8000)

x3(20−x)3

；…（9分）
令y'=0，得（3x-20）•（3x²+400）=0；
又0＜x＜20，∴x＝

20

3

．…（12分）
∵当x∈(0 ， 

20

3

)时，y'＜0；当x∈(

20

3

 ， 20)时，y'＞0，
∴当x＝

20

3

时，y取最小值．
故存在点C，当AC＝

20

3

km时，该点的烟尘浓度最低．…（14分）

（Ⅰ）设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，由AC=x，（0＜x＜20），可得BC=20-x；
依题意，点C处的烟尘浓度y的函数表达式为：y＝

k

x2

+

k•8

(20−x)2

，（0＜x＜20）
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的函数表达式求导，利用单调性与导数的关系求最值即可．

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：本题以环保为素材，考查函数模型的构建，考查根据导数求函数的最值的问题．属中档题