题目

已知三角形ABC的外接圆半径为R,且满足2R（sin平方A-sin平方C）=（√2a-b）sinB.求三角形ABC面积的最大值
2R(sin²A-sin²C)=(√2a-b)sinB
(2R)²sin²A-(2R)²sin²C=(√2a-b)*(2R)SinB
a²-c²=(√2a-b)b=√2ab-b²
a²+b²-c²=√2ab
cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=√2/2
C=45度
c=2RsinC=√2R
c²=2R²=a²+b²-√2ab≥(2-√2)ab……a=b时取等号 （这一步是为什么?）
ab≤2R²/(2-√2)=(2+√2)R²
S=(1/2)absinC=(√2/4)ab≤[(√2+1)/2]R²
即：三角形ABC的面积的最大值=[(√2+1)/2]R² (此时a=b)

提问时间：2021-02-04

答案

c²=a²+b²-√2ab
这是余弦定理
C=45,cosC=√2/2
c²=a²+b²-2abcosC得到
因为(a-b)²>=0
a²+b²-2ab>=0
所以a²+b²>=2ab
所以
a²+b²-√2ab>=2ab-√2ab
即a²+b²-√2ab>=(2-√2)ab